Ускоренная итерация, Вычисление корней уравнений, Преловский Б.А., 2009

Ускоренная итерация, Вычисление корней уравнений, Преловский Б.А., 2009.
 
   Книга предназначена для использования в качестве учебного пособия на математических, физических, экономических факультетах технических и педагогических вузов, для использования в НИИ, КБ, проектных организациях и для самостоятельного изучения.
Изложены новые эффективные и в то же время простые методы вычисления корней уравнений. Классические методы Ньютона и секущих, широко применяемые в настоящее время, также ускорены [5]. Приведены общие принципы вывода расчетных формул, методы вычисления интервалов корней и исходных приближенных их значений х0, вновь разработаны ускоренные итерационные методы уточнения приближений до требуемой точности за минимальное количество итераций.
Формулы получены из условий быстрой сходимости. Методы пригодны для решения одиночных и систем уравнений, как алгебраических, так и трансцендентных произвольного вида f(х) = 0. Приведены формулы прогнозирования точности вычисляемого корня.




ЗОНЫ ФУНКЦИИ УРАВНЕНИЯ И ОТНОШЕНИЕ ЗОН.
При х, алгебраическая сумма положительных членов функции уравнения f(х) составляет положительную зону S+ и отрицательных членов — отрицательную зону S-.

При уточнении корня в увеличивающем направлении (при а > хi, где а — искомый корень) одну из зон — большую по модулю — назовем ведущей S1, другую — меньшую по модулю—ведомой S2.

При уточнении корня в уменьшающем направлении (а < хi) ведущей зоной S1 будет уже меньшая по модулю и ведомой S2 — большая.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Часть I ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ.
1. Положения, использованные при выводе расчетных формул.
1.1. Зоны функции уравнения и отношение зон.
1.2. Свойства зон.
1.3. Преобладающие члены зон П1, П2 и их доли η1, η2.
1.4. Уточняющие отношения.
1.5. Взаимосвязь количеств точно вычисленных разрядов уточненного корня хi+1 от его исходных приближений xi.
1.6. Условия быстрой сходимости.
1.6.1. Краткое изложение условий быстрой сходимости.
1.6.2. Обобщение условий быстрой сходимости I и III варианты.
1.6.3. Дополнительные условия быстрой сходимости (IV вариант).
Часть II ВЫЧИСЛЕНИЕ ИСХОДНЫХ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ КОРНЕЙ (11 методов).
2. Методы с использованием преобладающих членов зон П1 и П2, и их долей η1, η2.
3. Вычисление границ интервалов корней методом использования границ преобладающих членов.
4. Методы проб и деления пополам.
5. Метод линейных двучленов (х-a) и поправочных коэффициентов q.
5.1. Графоаналитический метод вычисления корней.
5.2. Определение исходных приближенных значений корней графическим методом зон.
5.3. Вычисление исходного приближенного значения корня из приведенного квадратного трехчлена при решении уравнения τ-1 = 0.
5.4. Вычисление исходного приближенного значения корня методом аппроксимации (замены) функции уравнения линейным двучленом с использованием условия быстрой сходимости (1.3).
5.4.1. Прогнозирование точности вычисления x1 и х2.
5.4.2. Вычисление исходного приближенного значения корня с использованием уточняющей добавки N = 2 и N = 1.
Часть III УТОЧНЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ КОРНЕЙ (49 методов).
6. Итерационные методы линейного двучлена.
6.1. Простейший метод линейного двучлена.
6.1.1. Формула прогнозирования точности простейшего метода линейного двучлена.
6.2. Ускоренный метод линейного двучлена с уточняющим коэффициентом Р.
6.2.1. Прогнозирование точности ускоренного метода линейного двучлена с уточняющим коэффициентом Р.
6.2.2. Количество точных разрядов в хi и хi+1, вычисляемых методами линейного двучлена.
6.2.3. Точность вычислений при увеличении количества точных разрядов в исходных значениях корня x1 и х2.
6.3. Ускоренный метод линейного двучлена с уточняющим показателем степени w.
6.4. Обобщение формул линейного двучлена (6.6), (6.10) и (6.11) с простейшими формулами методов проб и деления пополам.
7. Уточнение корней методами пропорциональности.
7.1. Простейший метод пропорциональности.
7.1.1. Прогнозирование точности вычислений простейшим методом пропорциональности.
7.2. Ускоренный метод пропорциональности с использованием показателя степени w.
7.2.1. Прогнозирование точности ускоренного метода пропорциональности с показателем степени w.
7.3. Ускоренный метод пропорциональности с использованием уточняющих коэффициентов Рi и Рi+1. 
8. Методы уточняющей добавки Δi с двумя ускоряющими коэффициентами P и q.
8.1. Прогнозирование точности вычисления методом уточняющей добавки при P,q, и Δ=f(x).
8.2. Прогнозирование точности вычислений при использовании простейшего метода уточняющей добавки с одним уточняющим коэффициентом Р.
8.3. Ускоренный метод уточняющей добавки Δi с двумя ускоряющими коэффициентами Р и q при двух исходных значениях корня х1 и х2.
8.4. Прогнозирование точности x3, вычисляемого по методике раздела 8.3.
8.5. Метод уточняющей добавки Δ=f(х) с ускоряющими элементами Р и со при двух исходных значениях корня x1 и х2.
8.5.1. Прогнозирование точности х3, вычисляемого по методике раздела 8.5.
9. Метод уточняющей добавки Δi с уточняющими: коэффициентом Р и показателем степени со. 
9.1. Прогнозирование точности вычисления методом уточняющей добавки при Р, w и Δ = Inτ.
9.2. Уточнение формулы (8.18) показателем степени w.
10. Метод зон с уточняющими: коэффициентом Р и показателем степени со.
10.1. Прогнозирование точности метода зон с уточняющими Р и со (по I варианту).
10.2. Прогнозирование точности метода зон с одним уточняющим коэффициентом Р.
10.3. Прогнозирование точности метода зон с уточняющими Р и со при уточнении корня по II варианту.
11. Метод зон с двумя уточняющими коэффициентами Р и q [5], [6].
11.1. Метод дополнительного приращения отношения зон Δ = τ - 1, применяемый при двух исходных значениях корня x1 и х2.
11.2. Прогнозирование точности вычислений по алгоритму примера 11.1.1.
12. Ускоренный метод зон с использованием показателя степени К и уточняющего его коэффициента q |2], [4], [5], [6]. 
12.1. Прогнозирование точности метода зон с использованием показателя степени К и уточняющего его коэффициента q.
12.2. Прогнозирование точности вычисления x1+i по формуле метода зон с показателем степени Ki.
12.3. Ускоренный метод зон с одним показателем степени К при использовании двух исходных значений корня x1 и х2.
13. Методы уточняющего отношения η с коэффициентом q и показателем степени w.
13.1. Уточнение корня упрощенным вариантом во всех итерациях.
13.2. Прогнозирование точности вычисления xi+1 методом уточняющего отношения с q и w.
13.3. Прогнозирование точности вычисления xi+1 для упрощенного варианта с одним q.
13.4. Метод уточняющего отношения η с одним ускоряющим коэффициентом q при двух исходных значениях корня х1 и x2.
13.5. Метод уточняющего отношения η с поправочными коэффициентами q и Р [6].
14. Метод уточняющего отношения, вычисляемый показательными функциями [6].
14.1. Прогнозирование точности метода уточняющего отношения, вычисляемого показательными функциями е'q и е'.
14.2. Прогнозирование точности упрощенного варианта с одним уточняющим коэффициентом q.
МЕТОДЫ ПАРАБОЛ (12 методов).
15. Метод касательной параболы.
15.1. Выявление в методах касательной параболы количества точных разрядов в хi и хi+1 по численным значениям уточняющих коэффициентов ηi и ηi+1 [6]. 
15.2. Прогнозирование точности вычисления хi+1 методом касательной параболы в зависимости от количества точных разрядов ni в xi.
15.3. Прогнозирование точности вычисления xi+1 для упрощенного варианта вычислений по формуле (15.7) с постоянным показателем степени n = 2.
15.4. Метод касательной параболы с использованием двух исходных значений корня x1 и х2. 
15.5. Прогнозирование точности вычислений методом касательной параболы (по разделу 15.4) с использованием двух исходных значений корня х1 и х2.
16. Метод полного квадратного трехчлена, секущего функцию уравнения в 3-х точках.
16.1. Прогнозирование точности корня, вычисляемого методом полного квадратного трехчлена.
16.2. Пример вычисления корня уравнения по плану с использованием формулы прогнозирования точности.
16.3. Ускорение метода полного квадратного трехчлена вычислением промежуточного исходного значения корня простейшим методом линейного двучлена.
16.3.1. Уточнение корня с использованием трех исходных приближенных значений корня в других методах.
16.3.2. Прогнозирование точности вычисления х5.
16.3.3. Прогнозирование точности вычисления х4 с использованием метода деления пополам.
16.3.4. Прогнозирование точности вычисления х4' и х4.
16.3.5. Прогнозирование точности вычисления х4, вычисляемого простейшим методом линейного двучлена.
16.4. Уточнение корней уравнения вычислением коэффициентов полного квадратного трехчлена из условия экстремума аппроксимирующей функции (16.28) [6].
16.4.1. Прогнозирование точности вычисления при уточнении корня по методике раздела 16.4.
16.5. Уточнение корней уравнений вычислением коэффициентов приведенного квадратного трехчлена из условия экстремума аппроксимирующей функции (16.37) [6].
16.6. Уточнение корня с использованием экстремума аппроксимирующей функции (16.45) с линейным уравнением (16.42).
16.6.1. Выводы по разделам 16.4-16.6.
16.7. Уточнение корней уравнений вычислением коэффициентов полного квадратного трехчлена из условий экстремума аппроксимирующей функций.
16.8. Вычисление коэффициента b полного квадратного уравнения, заменяющего функцию решаемого уравнения f(х) = 0, методом сложения двух уравнений системы.
16.9. Использование в качестве заменяющей функции квадратного двучлена (bх2 + с).
17. Метод приведенного квадратного трехчлена, секущего функцию уравнения f(х) в двух точках. 
17.1. Прогнозирование точности при уточнении корня методом приведенного квадратного трехчлена с использованием двух приближенных значений корня x1 и х2.
17.2. Метод приведенного квадратного трехчлена с использованием условия быстрой сходимости (1.3) при одном приближенном значении корня х0.
18. Метод приведенного квадратного трехчлена с использованием уточняющей поправки л при одном приближенном значении корня х0.
19. Итоги прогнозирования по главам 6 и 7.
20. Методы секущих.
20.1. Простейший метод секущих.
20.2. Ускоренный метод секущих с одним уточняющим коэффициентом.
20.3. Выявление точности исходных и уточненных значений корня в методах секущих.
20.4. Прогнозирование точности вычислений простейшим методом секущих [6].
20.5. Прогнозирование точности вычислений ускоренным методом секущих с уточняющим коэффициентом Рi или Рi+1.
20.6. Итоги прогнозирования точности методов секущих.
21. Простейшие методы уточнения корней.
21.1. Простейший метод зон. 
21.2. Простейший метод итерационного уточняющего отношения η с преобладающим членом П.
22. Итоги прогнозирования точности.
23. Методика вычислений.
24. Решение систем уравнений.
25. Выводы.
Литература.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Ускоренная итерация, Вычисление корней уравнений, Преловский Б.А., 2009 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу, если она есть в продаже, и похожие книги по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить книги


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Хештеги: #учебник по математике :: #математика :: #Преловский :: #корень :: #итерация :: #коэффициент :: #степень