Комбинаторная теория игр, Деорнуа П., 2017

Комбинаторная теория игр, Деорнуа П., 2017.
     
   Оказывается, позициям в самых разных играх можно сопоставить своеобразные числа, оценивающие положение игроков. Возникающие «сюрреальные числа» включают в себя все действительные числа (но не только). В брошюре рассказывается, как возникающая теория помогает проанализировать ним, хакенбуш и другие игры.
Брошюра написана по материалам лекций, прочитанных автором на летней школе «Современная математика» в Дубне в июле 2009 года. Она доступна школьникам старших классов.




Смешиваем числа и ним-числа.
Сейчас мы попробуем смешать две рассмотренные теории. Мы уже знаем, что некоторые игры — числа, а некоторые—ним-числа. Что будет, если мы рассмотрим их вместе?

Правила 3.1 (Трёхцветный хакенбуш). Теперь у нас есть синие, красные и зелёные рёбра. Левый может перерезать синие и зелёные, Правый может перерезать красные и зелёные. Условия победы те же самые: тот, кто не может сделать ход, проиграл.

Мы знаем, что в красно-синем хакенбуше выигрывает Левый, Правый или второй игрок, в то время как в зелёном хакенбуше для любой позиции выигрывает либо начинающий, либо второй игрок. Поэтому в трёхцветном хакенбуше возможны все четыре возможности. Напомним, что игра g называется нечёткой, если в ней выигрывает начинающий. Будем обозначать это g||0. В зелёном хакенбуше сумма двух нечётких игр или нечёткая, или нулевая. Остаётся ли это верным в трёхцветном хакенбуше?

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Введение. 
1. Пристрастные игры и числа. 
1.1. Игра хакенбуш. 
1.2. Сумма игр. Нулевые, положительные и отрицательные игры. 
1.3. Целые значения.
1.4. Позиция 1/2.
1.5. Двоично-рациональные позиции.
1.6. Новая конструкция для чисел. 
1.7. Вещественные и сюрреальные числа.
2. Беспристрастные игры и ним-числа: теория Шпрага—Гранди. 
2.1. Ним-числа. 
2.2. Покерный ним и правило наименьшего исключённого. 
2.3. Голодный конь. 
3. Смешиваем числа и ним-числа. 
3.1. Числа и ним-числа. 
3.2. Странное поведение рядом с нулём.
3.3. Вполне малые игры. 
4. Горячие игры. Температура. 
4.1. Горячие игры.
4.2. Прибавление переключателей.
4.3. Переключатели как возможные ходы.
4.4. Охлаждаем игру.
Литература.

Купить .



Хештеги: #учебник по математике :: #математика :: #Деорнуа :: #теория игр