Волновые фронты и топология кривых, Арнольд В.И., 2018

Волновые фронты и топология кривых, Арнольд В.И., 2018.

   Одномерные каустики и волновые фронты являются специальными классами плоских кривых. Исследование их особенностей привело к созданию новых глав топологии. В этой книге, начиная с простых примеров, рассматривается глобальная теория особенностей иммерсий гладких многообразий и волновых фронтов.
Книга рассчитана на студентов физико-математических специальностей.




Три базисных инварианта.
В дальнейшем под кривой мы понимаем иммерсию окружности в плоскость. Чтобы объяснить природу основных результатов, я начну с примера.

На рис. 1.1 изображены две кривые. Они принадлежат одной и той же компоненте пространства иммерсий. Таким образом, существует однопараметрическое семейство иммерсий, соединяющее эти две иммерсии общего положения (найдите его!).

Очевидно, что для некоторых значений параметра иммерсии, принадлежащие этому пути, не находятся в общем положении. Если путь — общего положения, то для отдельных значений параметра может произойти три типа событий (рис. 1.2): тройные самопересечения иммерсированной кривой и самокасания двух видов — попутные самокасания (две касающиеся ветви кривой ориентированы одним и тем же касательным вектором) и противопутные.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Часть 1 Инварианты и дискриминанты плоских кривых и фронтов.
Глава 1. Плоские кривые.
§1.1. Три базисных инварианта.
§1.2. Свойства базисных инвариантов.
§1.3. Вычисление базисных инвариантов.
§1.4. Экстремальные кривые и древоподобные кривые.
§1.5. Нумерология.
§1.6. Кобордизмы.
§1.7. Длинные кривые.
Глава 2. Лежандровы узлы.
§2.1. От плоских кривых к лежандровым узлам.
§2.2. Пространство лежандровых кривых.
§2.3. Базисный инвариант J+.
§2.4. Лежандровы коэффициенты зацепления.
§2.5. Вычисление коэффициентов зацепления.
Часть 2 Симплектическая и контактная топология каустик и волновых фронтов.
Глава 3. Особенности каустик и теория Штурма.
§3.1. Теоремы о четырех точках возврата и последняя геометрическая теорема Якоби.
§3.2. Теорема Гурвица—Келлога—Табачникова типа Штурма.
§3.3. Тригонометрические аппроксимации.
§3.4. Лагранжевы пересечения в симплектической топологии.
§3.5. Лежандровы зацепления в контактной топологии.
§3.6. Лагранжев коллапс и точки возврата каустик.
Глава 4. Особенности волновых фронтов и теорема о теннисном мяче.
§4.1. Лежандров коллапс и выворачивание фронтов.
§4.2. Доказательство теоремы о теннисном мяче.
§4.3. Пространственные кривые, их точки уплощения и теорема Мёбиуса.
§4.4. Вершины выпуклых пространственных кривых.
§4.5. Приложения в теории экстатических точек плоских кривых.
§4.6. Многомерные обобщения теории Штурма.
Литература.

Купить .



Хештеги: #учебник по математике :: #математика :: #Арнольд