Курс математического анализа, часть 1, книга 1, Решетняк Ю.Г., 1999

Курс математического анализа, Часть 1, Книга 1, Решетняк Ю.Г., 1999.

   Учебник «Курс математического анализа» в двух частях написан на основе лекционного курса, читавшегося автором в Новосибирском государственном университете, и отражает опыт работы кафедры математического анализа по совершенствованию преподавания этого предмета. Дается оригинальное изложение ряда тем, составляющих традиционное содержание курса. Читателю также представлены отдельные интересные вопросы, примыкающие к основному материалу. Часть I, книга 1 учебника предназначена для студентов первого курса математических факультетов университетов. Она может быть полезна преподавателям математики в университетах и в других высших учебных заведениях, где читается математический анализ.




Понятие множества.
В этом параграфе излагаются некоторые элементарные сведения из теории множеств и математической логики, которые будут применяться в дальнейшем. Приводятся основные начальные сведения из теории множеств. В частности, определяется понятие включения множеств, описываются операции объединения, пересечения и прямого произведения множеств. Операции эти обычно имеют простой наглядный смысл и при доказательстве тех или иных их свойств следует каждый раз попытаться сначала понять, что означает то или иное утверждение о множествах наглядно.

Нужные сведения из математической логики не идут далее описания логической символики, употребляемой в этой книге, как способ сокращенного описания отдельных математических высказываний. В современной математике понятие множества играет роль своего рода строительного материала, из которого конструируются все основные математические объекты.

Оглавление.
От автора.
Предисловие.
Глава 1. Введение в математический анализ.
§1. Понятие множества.
1.1. Множество и его элементы.
1.2. Логическая символика.
1.3. Кванторы.
1.4. Операции над множествами.
1.5. Прямое произведение множеств.
§2. Функции.
2.1. Понятие функции или отображения.
2.2. Образ и прообраз. Накрывающее и взаимно однозначное отображения.
2.3. Суперпозиция отображений.
2.4. Обратное отображение.
2.5. Сужение и продолжение функции.
2.6. График функции.
§3. Вещественные числа и числовые множества.
3.1. Алгебраическая структура множества вещественных чисел.
3.2. Порядковая структура множества R.
3.3. Расширенная числовая прямая. Промежутки (отрезки).
3.4. Абсолютная величина. Положительная и отрицательная части числа.
§4. Точные границы числового множества. Аксиома непрерывности. Натуральные, целые и рациональные числа.
4.1. Понятия точной верхней и точной нижней границ числового множества. Аксиома непрерывности.
4.2. Признаки точной верхней и точной нижней границ числового множества.
4.3. Свойство монотонности относительно включения точной верхней и точной нижней границ.
4.4. Множества натуральных, целых и рациональных чисел.
4.5. Существование квадратного корня.
4.6. Сокращенные обозначения для суммы и произведения.
§5. Вещественные числовые функции.
5.1. Алгебраические операции над вещественными функциями. Монотонные функции.
5.2. График вещественной числовой функции.
5.3. Точные границы вещественной функции.
§6. Комплексные числа.
6.1. Понятие комплексного числа. Определение и основные свойства.
6.2. Вещественная и мнимая части комплексного числа. Модуль. Сопряженное число.
6.3. Геометрическое представление комплексных чисел.
§7. Счетные множества.
7.1. Определение счетного множества.
7.2. Операции над счетными множествами.
Задачи.
Глава 2. Теория предела.
§1. Определение и простейшие свойства предела.
1.1. Понятие предельной точки числового множества.
1.2. Определение предела функции на произвольном подмножестве R.
1.3. Понятие непрерывной функции.
1.4. Теорема о предельном переходе в неравенстве. Единственность предела.
1.5. Существование предела и асимптотическая ограниченность.
1.6. Теорема о зажатой переменной и ее следствия.
1.7. Характеристика предельных точек числового множества.
1.8. Понятия непрерывности и предела для комплексных функций.
§2. Теоремы об операциях над пределами.
2.1. Операции с бесконечно малыми.
2.2. Теоремы об операциях с пределами. Случай конечных пределов.
2.3. Правила замены переменной под знаком предела.
2.4. Теоремы о пределах суммы, произведения и частного. Случай бесконечных пределов.
§3. Признаки существования предела.
3.1. Теорема о существовании предела монотонной функции.
3.2. Критерий Коши — Больцано существования конечного предела.
3.3. Критерий Гейне существования предела.
3.4. Несчетность множества вещественных чисел R.
3.5. Понятие одностороннего предела и классификация точек разрыва функции на отрезке.
§4. Теорема о разрешимости уравнения f(x)=h и ее следствия.
4.1. Теорема Коши о промежуточных значениях.
4.2. Теорема о существовании непрерывной обратной функции.
§5. Основные теоремы о непрерывных функциях.
5.1. Теорема выбора Вейерштрасса.
5.2. Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях непрерывной функции.
5.3. Понятие равномерно непрерывной функции.
5.4. Топологические отображения отрезков в множество R.
§6. Верхний и нижний пределы последовательности.
6.1. Определение и простейшие свойства верхнего и нижнего пределов.
6.2. Критерий существования предела последовательности.
6.3. Понятие частичного предела последовательности.
6.4. Характеристика верхнего и нижнего пределов последовательности.
Задачи.
Глава 3. Элементарные функции.
§1. Показательная, логарифмическая и степенная функции. Некоторые замечательные пределы.
1.1. Существование и конечность предела lim (l+x/n)n.
1.2. Свойства функции ехр.
1.3. Функция — натуральный логарифм.
1.4. Операция возведения в степень. Степенная функция. Показательная функция.
§2. Тригонометрические функции. Общее понятие элементарной функции.
2.1. Синус, косинус и тангенс.
2.2. Предел lim sin x/x x-0.
2.3. Обратные тригонометрические функции.
2.4. Показательная функция комплексного аргумента.
2.5. Общее понятие элементарной функции.
2.6. Гиперболические функции.
§3. Сравнение поведения элементарных функций вблизи концов области определения.
3.1. Понятие об асимптотических соотношениях.
3.2. Сравнение поведения основных элементарных функций в концах области определения.
§4. Некоторые дополнительные сведения об элементарных функциях.
4.1. О функции ехр в комплексной плоскости.
4.2. Функциональные уравнения элементарных функций.
Задачи.
Глава 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
§1. Определение и простейшие свойства производной.
1.1. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Определение производной.
1.2. Правила дифференцирования.
1.3. Дифференцирование основных элементарных функций.
§2. Некоторые приложения понятия производной.
2.1. Касательная графика функции.
2.2. Понятие параметризованной кривой. Касательная к параметризованной кривой.
2.3. Полярная система координат на плоскости. Графики функций в полярной системе координат.
2.4. Приложения понятия производной в физике и механике.
§3. Производные высших порядков.
3.1. Определение производной высшего порядка.
3.2. Производные высших порядков некоторых элементарных функций.
3.3. Теорема о произведении функций классов Dn и Cn. Формула Лейбница.
3.4. Теоремы об операциях над функциями классов Dn и Cn.
§4. Теоремы о среднем значении.
4.1. Точки экстремума функции. Теорема Ферма.
4.2. Теоремы Коши и Лагранжа о среднем значении.
4.3. Теорема Дарбу о производной.
4.4. Критерий монотонности функции.
4.5. Ослабленный критерий монотонности функции.
§5. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей.
5.1. Неопределенность типа 0/0.
5.2. Неопределенность типа ∞/∞.
§6. Формула Тейлора.
6.1. Некоторые сведения о полиномах одной переменной.
6.2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
6.3. Оценки остаточного члена формулы Тейлора.
6.4. Новое доказательство формулы Лейбница.
6.5. Метод Ньютона (метод касательных) приближенного решения уравнений.
§7. Точки экстремума дифференцируемой функции.
7.1. Необходимые условия экстремума.
7.2. Достаточные условия экстремума.
7.3. Достаточные условия экстремума для функции, n-кратно дифференцируемой в точке.
§8. Выпуклые функции.
8.1. Определение выпуклой функции. Неравенство Йенсена.
8.2. Критерий выпуклости функции.
8.3. Основные неравенства анализа.
8.4. Точки перегиба функции.
8.5. Критерий выпуклости функции в общем случае.
§9. Исследование функции методами дифференциального исчисления.
9.1. Построение графика функции.
9.2. Исследование алгебраических уравнений второй и третьей степени.
9.3. Исследование параметризованных кривых.
Задачи.
Указатель обозначений.
Предметный указатель.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Курс математического анализа, часть 1, книга 1, Решетняк Ю.Г., 1999 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать файл № 1 - pdf
Скачать файл № 2 - djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - djvu - Яндекс.Диск.

Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Хештеги: #учебник по математике :: #математика :: #Решетняк