Курс вычислительных методов, Шарый С.П., 2018

Курс вычислительных методов, Шарый С.П., 2018.

   Книга является систематическим учебником по курсу вычислительных методов и написана на основе лекций, читаемых автором на механико-математическом факультете Новосибирского государственного университета. Особенностью книги является изложение методов интервального анализа и результатов конструктивной математики, связанных с традиционными разделами численного анализа.




Обусловленность математических задач.
Вынесенный в заголовок этого параграфа термин — обусловленность — означает меру чувствительности решения задачи к изменениям (возмущениям) её входных данных. Ясно, что любая информация подобного сорта чрезвычайно важна при практических вычислениях, так как позволяет оценивать достоверность результатов, полученных в условиях приближённого характера этих вычислений. С другой стороны, зная о высокой чувствительности решения мы можем предпринимать необходимые меры для компенсации этого явления — повышать разрядность вычислений, наконец, модифицировать или вообще сменить выбранный вычислительный алгоритм и т. п.

Существует несколько уровней рассмотрения поставленного вопроса. Во-первых, следует знать, является ли вообще непрерывной зависимость решения задачи от входных данных. Задачи, решение которых не зависит непрерывно от их данных, называют некорректными. Далее в §2.8г в качестве примера таких задач мы рассмотрим задачу численного дифференцирования. Во-вторых, в случае наличия этой непрерывнocти желательно иметь некоторую количественную меру чувствительнocти решения как функции от входных данных.

Оглавление.
Предисловие.
Глава 1. Введение.
1.1 Погрешности вычислений.
1.2 Компьютерная арифметика.
1.3 Обусловленность математических задач.
1.4 Устойчивость алгоритмов.
1.5 Интервальная арифметика.
1.6 Интервальные расширения функций.
1.7 Элементы конструктивной математики.
1.8 Сложность задач и трудоёмкость алгоритмов.
1.9 Доказательные вычисления на ЭВМ.
Литература к главе 1.
Глава 2. Численные методы анализа.
2.1 Введение.
2.2 Интерполирование функций.
2.2а Постановка задачи и её свойства.
2.2б Интерполяционный полином Лагранжа.
2.2в Разделённые разности и их свойства.
2.2г Интерполяционный полином Ньютона.
2.2д Погрешность алгебраической интерполяции.
2.3 Полиномы Чебышёва.
2.3а Определение и основные свойства.
2.3б Применения полиномов Чебышёва.
2.3в Обусловленность алгебраической интерполяции.
2.4 Интерполяция с кратными узлами.
2.15 Сходимость квадратур.
2.16 Вычисление интегралов методом Монте-Карло.
2.17 Правило Рунге для оценки погрешности.
Литература к главе 2.
Глава 3. Численные методы линейной алгебры.
3.1 Задачи вычислительной линейной алгебры.
3.2 Теоретическое введение.
3.2а Краткий обзор линейной алгебры.
3.2б Основные понятия теории матриц.
3.2в Собственные числа и собственные векторы.
3.2г Разложения матриц, использующие их спектр.
3.2д Сингулярные числа и сингулярные векторы.
3.2е Сингулярное разложение матриц.
3.2ж Матрицы с диагональным преобладанием.
3.2з Системы линейных алгебраических уравнений.
3.3 Нормы векторов и матриц.
3.3а Векторные нормы.
3.3б Топология на векторных пространствах.
3.3в Матричные нормы.
3.3г Подчинённые матричные нормы.
3.3д Топология на множествах матриц.
3.3е Энергетическая норма.
3.3ж Спектральный радиус.
3.3з Матричный ряд Неймана.
3.4 Приложения сингулярного разложения.
3.4а Исследование неособенности и ранга матриц.
3.4б Решение систем линейных уравнений.
3.4в Малоранговые приближения матрицы.
3.4г Метод главных компонент.
3.5 Обусловленность систем линейных уравнений.
3.5а Число обусловленности матриц.
3.5б Примеры плохообусловленных матриц.
3.5в Практическое применение числа обусловленности
3.6 Прямые методы решения линейных систем.
3.6а Основные понятия.
3.6б Решение треугольных линейных систем.
3.6в Метод Гаусса для решения линейных систем.
3.6г Матричная интерпретация метода Гаусса.
3.6д Метод Гаусса с выбором ведущего элемента.
3.6е Существование LU-разложения.
3.6ж Разложение Холесского.
3.6з Метод Холесского.
3.7 Методы на основе ортогональных преобразований.
3.7а Обусловленность и матричные преобразования.
3.7б QR-разложение матриц.
3.7в Ортогональные матрицы отражения.
3.7г Метод Хаусхолдера.
3.7д Матрицы вращения и метод вращений.
3.7е Процессы ортогонализации.
3.8 Метод прогонки.
3.9 Стационарные итерационные методы.
3.9а Краткая теория.
3.9б Сходимость стационарных одношаговых методов.
3.9в Подготовка системы к итерационному процессу.
3.9г Оптимизация скалярного предобуславливателя.
3.9д Итерационный метод Якоби.
3.9е Итерационный метод Гаусса-Зейделя.
3.9ж Методы релаксации.
3.10 Нестационарные итерационные методы.
3.10а Теоретическое введение.
3.10б Метод спуска для минимизации функций.
3.10в Наискорейший градиентный спуск.
3.10г Метод минимальных невязок.
3.10д Метод сопряжённых градиентов.
3.11 Методы установления.
3.12 Теория А.А.Самарского.
3.13 Вычисление определителей и обратных матриц.
3.14 Оценка погрешности приближённого решения.
3.15 Линейная задача наименьших квадратов.
3.15а Постановка задачи и основные свойства.
3.15б Численные методы для линейной задачи наименьших квадратов.
3.16 Проблема собственных значений.
3.16а Обсуждение постановки задачи.
3.16б Обусловленность проблемы собственных значений.
3.16в Коэффициенты перекоса матрицы.
3.16г Круги Гершгорина.
3.16д Отношение Рэлея.
3.16е Предварительное упрощение матрицы.
3.17 Численные методы для симметричной проблемы собственных значений.
3.17а Метод Якоби.
3.17б Численные методы сингулярного разложения.
3.18 Численные методы для несимметричной проблемы собственных значений.
3.18а Степенной метод.
3.18б Обратные степенные итерации.
3.18в Сдвиги спектра.
3.18г Базовый QR-алгоритм.
3.18д Модификации QR-алгоритма.
Литература к главе 3.
Глава 4. Решение нелинейных уравнений и их систем.
4.1 Введение.
4.2 Вычислительно-корректные задачи.
4.2а Предварительные сведения и определения.
4.2б Задача решения уравнений не является вычислительно-корректной.
4.2в ε-решения уравнений.
4.2г Недостаточность ε-решений.
4.3 Векторные поля и их вращение.
4.3а Векторные поля.
4.3б Вращение векторных полей.
4.3в Индексы особых точек.
4.3г Устойчивость особых точек.
4.3д Вычислительно-корректная постановка.
4.4 Классические методы решения уравнений.
4.4а Предварительная локализация решений.
4.4б Метод дихотомии.
4.4в Метод простой итерации.
4.4г Метод Ньютона и его модификации.
4.4д Методы Чебышёва.
4.5 Классические методы решения систем уравнений.
4.5а Метод простой итерации.
4.5б Метод Ньютона и его модификации.
4.6 Интервальные линейные системы уравнений.
4.6а Интервальный метод Гаусса-Зейделя.
4.7 Интервальные методы решения уравнений.
4.7а Основы интервальной техники.
4.7б Одномерный интервальный метод Ньютона.
4.7в Многомерный интервальный метод Ньютона.
4.7г Метод Кравчика.
4.8 Глобальное решение уравнений и систем.
Литература к главе 4.
Обозначения.
Краткий биографический словарь.
Предметный указатель.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Курс вычислительных методов, Шарый С.П., 2018 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Хештеги: #учебник по математике :: #математика :: #Шарый