Объемлемая однородность, Скопенков А.Б., 2012

Объемлемая однородность, Скопенков А.Б., 2012.

   Брошюра написана по материалам миникурса в летней школе «Современная математика» в Дубне в 2009 г. и доклада на семинаре по геометрии им. И. Ф. Шарыгина в 2010 г.
Понятие объемлемой однородности возникает из простых «физических» вопросов. Введение доступно школьнику (кроме его последнего пункта, где требуется понятие непрерывного отображения между подмножествами плоскости). Далее практически «школьными» методами мы получим характеризацию объемлемо однородных подмножеств плоскости. В этой части уже необходимо знакомство с открытыми и замкнутыми множествами на прямой и плоскости. Затем выясняется, что понятие объемлемой однородности связано со многими важными теориями и результатами — теорией динамических систем, многообразий и групп Ли, пятой проблемой Гильберта и проблемой Гильберта—Смита. Приложение доступно студенту, знакомому с этими понятиями.
Брошюра адресована широкому кругу людей, интересующихся математикой. Она может быть интересным «легким чтением» для профессиональных математиков.




Следствия о группах Ли.
При помощи теоремы 11 удобно доказывать, что некоторые группы являются группами Ли. Например, из нее вытекает теорема Картана о том, что любая замкнутая подгруппа группы Ли является подгруппой Ли.

Идея доказательства гипотез 1 и 5. (Эта идея сообщена С. В. Ивановым.) Группа самосовмещений нашего множества является замкнутой подгруппой группы движений (или аффинных преобразований), а значит, подгруппой Ли. Так как множество связно, то ее компонента единицы тоже действует на множестве транзитивно. Связные подгруппы Ли соответствуют подалгебрам Ли. Для данных конкретных случаев подалгебры можно перечислить. Орбиты действий соответствующих подгрупп и будут всеми однородными множествами. Они автоматически будут гладкими подмногообразиями, поэтому их можно перечислять и с помощью дифференциальной геометрии.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
§1. Введение.
§2. Принцип вложенных отрезков, или примени теорему Бэра о категории.
§3. Доказательство теоремы 3 и утверждения 2.
§4. Обобщение на диффеоморфизмы.
§5. Приложение: обобщение на многомерный случай и многообразия.
Литература.

Купить .



Хештеги: #учебник по математике :: #математика :: #Скопенков :: #теорема Бэра