Обобщения чисел, Понтрягин Л.С., 2003

Обобщения чисел, Понтрягин Л.С., 2003.
    
   В книге представлен популярный рассказ о возможных обобщениях понятия числа. Сначала подробно рассмотрены обобщения действительных чисел, именно комплексные числа и кватернионы. Доказано, что других логически возможных величин, аналогичных действительным и комплексным числам и пригодных к употреблению в математике в роли чисел, кроме действительных и комплексных чисел, не существует. Затем рассматриваются другие обобщения понятия числа, уже не содержащие действительных чисел.




Основная теорема алгебры.
Здесь будет доказана основная теорема алгебры, утверждающая, что всякий многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень. При этом действительные числа считаются частным случаем комплексных чисел.

Основная теорема алгебры впервые была доказана Гауссом в 1799 году для частного случая многочленов с действительными коэффициентами. Гаусс показал, что всякий такой многочлен имеет по крайней мере один действительный или комплексный корень. С точки зрения современной абстрактной алгебры теорема эта показывает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто: это значит, что, рассматривая корни алгебраических уравнений (т. е. корни многочленов) в этом поле, мы не можем получить новых чисел.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Глава 1. Комплексные числа.
§1. Историческая справка.
§2. Определение комплексных чисел.
§3. Геометрическое изображение комплексных чисел.
Глава 2. Основная теорема алгебры.
§4. Пути в плоскости комплексного переменного.
§5. Комплексные функции комплексного переменного
Глава 3. Алгоритм Евклида.
§6. Деление многочленов.
§7. Разложение многочлена на множители.
§8. Общий наибольший делитель двух многочленов.
§9. Устранение кратных корней.
§10. Подсчет числа действительных корней многочлена на заданном отрезке.
Глава 4. Кватернионы.
§11. Векторные пространства.
§12. Евклидово векторное пространство.
§13. Кватернионы.
§14. Геометрические применения кватернионов.
Глава 5. Другие обобщения чисел.
§15. Алгебраические тела и поля.
§16. Поле вычетов по простому модулю р.
§17. Теорема Фробениуса.
Глава 6. Тополого-алгебраические тела.
§18. Топологическое тело.
§19. Топологические понятия в топологическом теле L.
§20. Теорема единственности.
§21. р-адические числа.
§22. Некоторые топологические свойства поля Кp0 р-адических чисел.
§23. Поле рядов над полем вычетов.
§24. О структуре несвязных локально компактных топологических тел.
Об авторе.

Купить .



Хештеги: #учебник по математике :: #математика :: #Понтрягин :: #число :: #кватернион :: #многочлен