Специальные функции и теория представлений групп, Виленкин Н.Я.

Специальные функции и теория представлений групп, Виленкин Н.Я.

   Решение очень многих важных задач математической физики и техники не может быть выражено с помощью обычных, элементарных функций, и тогда приходят на помощь специальные функции (функции Лежандра, функции Бесселя, гипергеометрическая функция и т. д.). Теория специальных функций очень детально разработана и включает в себя необозримое множество формул и соотношений, выводимых самыми разнообразными методами, что затрудняет ее изучение.
Целью данной книги является изложение теории специальных функций с единой точки зрения при помощи теории представлений групп. Этот подход позволяет единым образом получать всевозможные соотношения между специальными функциями, как ранее известные, так и новые.
Книга предназначена для математиков, физиков (как теоретиков, так и экспериментаторов), научных работников в области техники, а также может быть использована аспирантами и студентами старших курсов университетов.




ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП.
Эта глава носит вводный характер. Она содержит основные понятия и результаты теории представлений групп, которые будут использованы в этой книге. Кроме того, в ней показано, как строятся представления групп преобразований, а также рассмотрена связь между собственными функциями инвариантных операторов и теорией представлений групп. Наконец, в конце главы изучены матричные элементы неприводимых унитарных представлений компактных групп.

Там показано, что эти элементы образуют полную ортогональную систему функций на группе относительно инвариантной меры. Этим устанавливается связь между теорией представлений групп и ортогональными разложениями.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Содержание.
Предисловие.
Введение.
ГЛАВА I ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП.
§1. Основные понятия теории представлений.
§2. Группы преобразований и их представления.
§3. Инвариантные операторы и теория представлений.
§4. Представления компактных групп.
ГЛАВА II АДДИТИВНАЯ ГРУППА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ.
§1. Показательная и тригонометрические функции.
§2. Ряды Фурье.
§3. Интеграл Фурье.
§4. Преобразование Фурье в комплексной области.
ГЛАВА III ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА И МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА И ЯКОБИ.
§1. Группа SU(2).
§2. Неприводимые унитарные представления.
§3. Матричные элементы представлений. Многочлены Лежандра и Якоби.
§4. Функциональные соотношения для функций Plmn(z).
§5. Производящие функции для Plmn(z).
§6. Разложение функций на группе SU(2).
§7. Характеры представлений Tl(u).
§8. Коэффициенты Клебша - Гордана.
ГЛАВА IV ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ И ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ.
§1. Группа М(2).
§2. Неприводимые унитарные представления группы М(2).
§3. Матричные элементы представлений TR(g) и функции Бесселя.
§4. Функциональные соотношения для функций Бесселя.
§5. Разложения представлений группы М(2) и преобразование Фурье - Бесселя.
§6. Произведение представлений.
§7. Функции Бесселя и функции Рlmn(х).
ГЛАВА V ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПСЕВДОЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ И ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА.
§1. Представления группы линейных преобразований прямой линии и Г-функция.
§2. Группа МН(2) движений псевдоевклидовой плоскости.
§3. Представления группы МН(2).
§4. Рекуррентные формулы и дифференциальное уравнение для функций Макдональда и Ганкеля.
§5. Функциональные соотношения для функций Ганкеля и Макдональда.
§6. Разложение квазирегулярного представления группы МН(2).
ГЛАВА VI ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU(2) УНИМОДУЛЯРНЫХ КВАЗИУНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА И ЯКОБИ.
§1. Группа QU(2).
§2. Неприводимые представления группы QU(2).
§3. Матричные элементы представлений Тx(g).
§4. Функциональные соотношения для Bmn(chT).
§5. Разложение регулярного представления группы QU(2).
ГЛАВА VII ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ И ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ.
§1. Гипергеометрическая функция.
§2. Группа SL(2, R) вещественных унимодулярных матриц второго порядка.
§3. Неприводимые представления группы SL(2, R).
§4. Вычисление ядер представления R(g).
§5. Рекуррентные формулы для гипергеометрической функции. Гипергеометрическое уравнение.
§6. Интегральные представления и формула сложения для гипергеометрической функции.
§7. Представления группы вещественных матриц второго порядка и функции Ганкеля.
ГЛАВА VIII ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА И ФУНКЦИИ УИТТЕКЕРА.
§1. Функции Уиттекера и вырожденная гипергеометрическая функция.
§2. Группа треугольных матриц третьего порядка и ее представления.
§3. Функциональные соотношения для функций Уиттекера.
§4. Интегралы, связанные с функциями Уиттекера.
§5. Многочлены Лагерра и представления группы комплексных треугольных матриц третьего порядка.
ГЛАВА IX ГРУППА ВРАЩЕНИЙ w-МЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ ГЕГЕНБАУЭРА.
§1. Группа SO(n).
§2. Представления класса 1 группы SO(n) и гармонические многочлены.
§3. Зональные сферические функции представлений T(g) и многочлены Гегенбауэра.
§4. Матричные элементы нулевого столбца.
§5. Сферические функции и оператор Лапласа. Полносферические функции.
ГЛАВА X ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ n-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА.
§1. Псевдоевклидово пространство и гиперболические вращения.
§2. Представления класса 1 группы SH(n).
§4. Разложения представлений группы SH(n) и преобразование Фока - Мелера.
§5. Оператор Лапласа на гиперболоиде. Полисферические и орисферические функции на гиперболоиде.
ГЛАВА XI ГРУППА ДВИЖЕНИЯ n-МЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ.
§1. Группа М(n).
§2. Неприводимые представления класса 1 группы М(n).
§3. Зональные и присоединенные сферические функции представлений класса 1 группы М(n).
§4. Предельный переход по размерности пространства. Многочлены Эрмнта.
Литература.
Примечания и литературные указания.
Указатель важнейших обозначений.
Предметный указатель.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Специальные функции и теория представлений групп, Виленкин Н.Я. - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Хештеги: #учебник по математике :: #математика :: #Виленкин