Численные методы, Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М., 2020

Численные методы, Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М., 2020.

   Классический учебник по численным методам, переработанный с учетом современных тенденций в вычислительных методах. В данном издании устранены неточности и опечатки, имевшиеся в предыдущих изданиях, упрощены некоторые доказательства.
Для студентов и преподавателей вузов, а также для специалистов, использующих численные методы в своей работе.




Интерполяция и численное дифференцирование.
В этой главе излагаются наиболее широко используемые способы вычисления приближенных значений функции и ее производных в случае, когда известны значения функции в некоторых фиксированных точках. Множество этих точек иногда задается нам внешними обстоятельствами, а иногда мы можем выбрать их по своему усмотрению.

Такого рода задачи приближения и приближенного дифференцирования часто возникают как самостоятельные в ситуациях, некоторые из которых будут рассмотрены ниже. Кроме того, алгоритмы решения этих задач используются как вспомогательные при построении методов вычисления интегралов, решения дифференциальных и интегральных уравнений. Наличие большого количества методов вызвано историческим развитием теории и практики решения прикладных задач. Многие методы возникли как варианты предшествующих, отличаясь от них формой записи, изменением порядка вычислений, имевшими цель уменьшить влияние погрешности округлений при вычислениях.

Оглавление.
Предисловие.
Предисловие к третьему изданию.
Введение.
1 Погрешность результата численного решения задачи.
§1. Источники и классификация погрешности.  
§2. Запись чисел в ЭВМ.  
§3. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных.
§4. О вычислительной погрешности.  
§5. Погрешность функции.  
§6. Обратная задача.
2 Интерполяция и численное дифференцирование.
§1. Постановка задачи приближения функций.  
§2. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
§3. Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа.
§4. Разделенные разности и их свойства.  
§5. Интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями.
§6. Разделенные разности и интерполирование с кратными узлами.  
§7. Уравнения в конечных разностях.
§8. Многочлены Чебышева.
§9. Минимизация оценки остаточного члена интерполяционной формулы.
§10. Конечные разности.  
§11. Интерполяционные формулы для таблиц с постоянным шагом.
§12. Составление таблиц.
§13. О погрешности округления при интерполяции.  
§14. Применения аппарата интерполирования. Обратная интерполяция.
§15. Численное дифференцирование.
§16. О вычислительной погрешности формул численного дифференцирования.  
§17. Рациональная интерполяция.
3 Численное интегрирование.
§1. Простейшие квадратурные формулы. Метод неопределенных коэффициентов.  
§2. Оценки погрешности квадратуры.  
§3. Квадратурные формулы Ньютона—Котеса.
§4. Ортогональные многочлены.
§5. Квадратурные формулы Гаусса.  
§6. Практическая оценка погрешности элементарных квадратурных формул.
§7. Интегрирование быстро осциллирующих функций.
§8. Повышение точности интегрирования за счет разбиения отрезка на равные части.
§9. О постановках задач оптимизации.
§10. Постановка задачи оптимизации квадратур.
§11. Оптимизация распределения узлов квадратурной формулы.
§12. Примеры оптимизации распределения узлов.
§13. Главный член погрешности.  
§14. Правило Рунге практической оценки погрешности.
§15. Уточнение результата интерполяцией более высокого порядка точности.  
§16. Вычисление интегралов в нерегулярном случае.
§17. Принципы построения стандартных программ с автоматическим выбором шага.  
4 Приближение функций и смежные вопросы.
§1. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве.  
§2. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и вопросы, возникающие при его практическом построении.
§3. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье.  
§4. Быстрое преобразование Фурье.
§5. Наилучшее равномерное приближение.
§6. Примеры наилучшего равномерного приближения.
§7. О форме записи многочлена.  
§8. Интерполяция и приближение сплайнами.  
5 Многомерные задачи.
§1. Метод неопределенных коэффициентов.  
§2. Метод наименьших квадратов и регуляризация.  
§3. Примеры регуляризации.  
§4. Сведение многомерных задач к одномерным.
§5. Интерполяция функций в треугольнике.
§6. Оценка погрешности численного интегрирования на равномерной сетке.
§7. Оценка снизу погрешности численного интегрирования.  
§8. Метод Монте-Карло.
§9. Обсуждение правомерности использования недетерминированных методов решения задач.
§10. Ускорение сходимости метода Монте-Карло.  
§11. О выборе метода решения задачи.
6 Численные методы алгебры.
§1. Методы последовательного исключения неизвестных.  
§2. Метод отражений.
§3. Метод простой итерации.  
§4. Особенности реализации метода простой итерации на ЭВМ.
§5. δ2-процесс практической оценки погрешности и ускорения сходимости.
§6. Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов.
§7. Метод Зейделя.
§8. Метод наискорейшего градиентного спуска.
§9. Метод сопряженных градиентов.  
§10. Итерационные методы с использованием спектрально-эквивалентных операторов.  
§11. Погрешность приближенного решения системы уравнений и обусловленность матриц. Регуляризация.
§12. Проблема собственных значений.  
§13. Решение полной проблемы собственных значений при помощи QR-алгоритма.
7 Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации.
§1. Метод простой итерации и смежные вопросы.  
§2. Метод Ньютона решения нелинейных уравнений.
§3. Методы спуска.
§4. Другие методы сведения многомерных задач к задачам меньшей размерности.
§5. Решение стационарных задач путем установления.
§6. Что и как оптимизировать?.  
8 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 364
§1. Решение задачи Коши с помощью формулы Тейлора.
§2. Методы Рунге—Кутта.  
§3. Методы с контролем погрешности на шаге.  
§4. Оценки погрешности одношаговых методов.  
§5. Конечно-разностные методы.
§6. Метод неопределенных коэффициентов.
§7. Исследование свойств конечно-разностных методов на модельных задачах.
§8. Оценка погрешности конечно-разностных методов.
§9. Особенности интегрирования систем уравнений.
§10. Методы численного интегрирования уравнений второго порядка.
§11. Оптимизация распределения узлов интегрирования.  
9 Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
§1. Простейшие методы решения краевой задачи для уравнений второго порядка.  
§2. Функция Грина сеточной краевой задачи.
§3. Решение простейшей краевой сеточной задачи.
§4. Замыкания вычислительных алгоритмов.  
§5. Обсуждение постановок краевых задач для линейных систем первого порядка.  
§6. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений первого порядка.  
§7. Нелинейные краевые задачи.
§8. Аппроксимации специального типа.
§9. Конечно-разностные методы отыскания собственных значений.  
§10. Построение численных методов с помощью вариационных принципов.  
§11. Улучшение сходимости вариационных методов в нерегулярном случае.
§12. Влияние вычислительной погрешности в зависимости от формы записи конечно-разностного уравнения.
10 Методы решения уравнений в частных производных.
§1. Основные понятия теории метода сеток.  
§2. Аппроксимация простейших гиперболических задач.  
§3. Принцип замороженных коэффициентов.  
§4. Численное решение нелинейных задач с разрывными решениями.
§5. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения.  
§6. Разностная аппроксимация эллиптических уравнений.  
§7. Решение параболических уравнений с несколькими пространственными переменными.  
§8. Методы решения сеточных эллиптических уравнений.  
11 Численные методы решения интегральных уравнений.
§1. Решение интегральных уравнений методом замены интеграла квадратурной суммой.
§2. Решение интегральных уравнений с помощью замены ядра на вырожденное.
§3. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода.
Заключение.
Список литературы.
Предметный указатель.

Купить .

Купить .



Хештеги: #учебник по математике :: #математика :: #Бахвалов :: #Жидков :: #Кобельков