Метрические пространства, Сибиряков Г.В., Мартынов Ю.А., 2016

Метрические пространства, Сибиряков Г.В., Мартынов Ю.А., 2016.

   В данном учебном пособии излагаются основные вопросы теории метрических пространств, в том числе и такие, которые зачастую остаются за пределами курсов математического анализа, читаемых в университетах: сепарабельность, теорема Бора о категориях, равномерная непрерывность отображений метрических пространств и др. Во всех разделах приведены примеры, как поясняющие общие определения, так и выявляющие важные частные случаи.
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям «Математика», «Математика и компьютерные науки», «Механика и математическое моделирование».




Пополнение неполного пространства.
В приложениях иногда возникают задачи в рамках какого-либо неполного метрического пространства. В то же время удобные методы решения аналогичных задач имеются только для полных пространств (например, метод последовательных приближений). В такой ситуации может помочь переход от неполного пространства М к более широкому, но уже полному пространству М. Возможность такого перехода обеспечивает следующая теорема.

1. Теорема. (О пополнении.) Для неполного метрического пространства М существует полное метрическое пространство М такое, что пространство М является всюду плотным подпространством пространства М.

Приведем два доказательства этой теоремы. Первое из них довольно длинное, но по существу тривиально. Оно копирует метод построения теории вещественного числа, предложенный Кантором. Второе доставляет любопытный пример применения пространства m(S) для доказательства общего факта.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
ПРЕДИСЛОВИЕ.
§1. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Rn.
§2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА.
§3. ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ.
§4. ШАРЫ.
§5. ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА.
§6. ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА.
§7. ЗАМЫКАНИЕ МНОЖЕСТВА.
§8. ВНУТРЕННОСТЬ МНОЖЕСТВА.
§9. ГРАНИЦА МНОЖЕСТВА.
§10. СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
§11. СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
§12. ПРЕДЕЛ ОТОБРАЖЕНИЯ.
§13. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.
§14. ГОМЕОМОРФНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
§15. СВЯЗНОСТЬ.
§16. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.
§17. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПОЛНЫХ ПРОСТРАНСТВ.
§18. ПОПОЛНЕНИЕ НЕПОЛНОГО ПРОСТРАНСТВА.
§19. ТЕОРЕМЫ БЭРА.
§20. ПРИНЦИП НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ.
§21. КОМПАКТНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.
§22. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ КОМПАКТОВ.
§23. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ НА КОМПАКТЕ.
ЛИТЕРАТУРА.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.

Купить .



Хештеги: #учебник по математике :: #математика :: #Сибиряков :: #Мартынов