Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии, Мищенко А.С., Фоменко А.Т., 2004

Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии, Мищенко А.С., Фоменко А.Т., 2004.

Книга представляет собой краткую версию курса дифференциальной геометрии, читаемого в течение двух семестров на математических факультетах университетов. Она содержит основной программный материал по общей топологии, нелинейным системам координат, теории гладких многообразий, теории кривых и поверхностей, группам преобразований, тензорному анализу и римановой геометрии, теории интегрирования и гомологиям, фундаментальным группам поверхностей, вариационным принципам в римановой геометрии. Изложение иллюстрируется большим количеством примеров и сопровождается задачами, часто содержащими дополнительный материал. Для математиков и физиков, студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников.




Декартовы и криволинейные координаты.
Рассмотрим произвольную область в Rⁿ₁. Напомним, что мы называем областью произвольное множество С в евклидовом пространстве, каждая точка Р которого входит в С вместе с некоторым шаром достаточно малого радиуса, имеющим точку Р своим центром. Рассмотрим второй экземпляр евклидова пространства, который обозначим через Rⁿ₁. Задать координаты точки Р в области С — значит сопоставить ей набор чисел, точку в Rⁿ₁. Ясно, что соответствие должно удовлетворять естественным требованиям. В первую очередь, нужно, чтобы различным точкам отвечали различные наборы координат. Сопоставляя каждой точке Р области С набор п вещественных чисел, мы получаем n функций х₁(Р), ... ,х_n(Р), имеющих областью определения область С; здесь x₁, ..., х_n — координаты в пространстве Rⁿ₁. Обычно требуют, чтобы эти функции были непрерывны и даже гладки.

Итак, рассмотрим два экземпляра евклидова пространства: R_n с декартовыми координатами у₁, ..., у_n и Rⁿ₁ с декартовыми координатами n₁, ... ,x_n; пусть С — область в R_n.
Определение 1. Непрерывной системой координат в области С евклидова пространства Rn называется набор функций x₁ (у₁, ... ... ,у_n), ... ,x_n(у₁, ... ,у_n), задающих взаимно однозначное и непрерывное в обе стороны отображение области С на некоторую область А в евклидовом пространстве Rⁿ₁. Иными словами, этот набор функций задает гомеоморфизм области С на область А.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Введение в дифференциальную геометрию
1.1. Криволинейные системы координат. Простейшие примеры
1.1.1. Мотивировка
1.1.2. Декартовы и криволинейные координаты
1.1.3. Простейшие примеры криволинейных систем координат
1.2. Длина кривой в криволинейных координатах
1.2.1. Длина кривой в евклидовых координатах
1.2.2. Длина кривой в криволинейных координатах
1.2.3. Понятие римановой метрики в области евклидова пространства
1.2.4. Индефинитные метрики
1.3. Геометрия на сфере, плоскости
1.4. Псевдосфера и геометрия Лобачевского
Глава 2. Общая топология
2.1. Определения и простейшие свойства метрических и топологических пространств
2.1.1. Метрические пространства
2.1.2. Топологические пространства
2.1.3. Непрерывные отображения
2.1.4. Фактортопология
2.2. Связность. Аксиомы отделимости
2.2.1. Связность
2.2.2. Аксиомы отделимости
2.3. Компактные пространства
2.3.1. Компактные пространства
2.3.2. Свойства компактных пространств
2.3.3. Метрические компактные пространства
2.3.4. Операции над компактными пространствами
2.4. Функциональная отделимость. Разбиение единицы
2.4.1. Функциональная отделимость
2.4.2. Разбиение единицы
Глава 3. Гладкие многообразия (общая теория)
3.1. Понятие многообразия
3.1.1. Основные определения
3.1.2. Функции замены координат. Определение гладкого многообразия
3.1.3. Гладкие отображения. Диффеоморфизм
3.2. Задание многообразий уравнениями
3.3. Касательные векторы. Касательное пространство
3.3.1. Простейшие примеры
3.3.2. Общее определение касательного вектора
3.3.3. Касательное пространство Тр_о (М)
3.3.4. Производная функции по направлению
3.3.5. Касательное расслоение
3.4. Подмногообразия
3.4.1. Дифференциал гладкого отображения
3.4.2. Локальные свойства отображений и дифференциал
3.4.3. Вложение многообразий в евклидово пространство
3.4.4. Риманова метрика на многообразии
3.4.5. Теорема Сарда
Глава 4. Гладкие многообразия (примеры)
4.1. Теория кривых на плоскости и в трехмерном пространстве
4.1.1. Теория кривых на плоскости. Формулы Френе
4.1.2. Теория пространственных кривых. Формулы Френ
4.2. Поверхности. Первая и вторая квадратичные формы
4.2.1. Первая квадратичная форма
4.2.2. Вторая квадратичная форма
4.2.3. Элементарная теория гладких кривых на гиперповерхности
4.2.4. Гауссова и средняя кривизны двумерных поверхностей
4.3. Группы преобразований
4.3.1. Простейшие примеры групп преобразований
4.3.2. Матричные группы преобразований
4.3.3. Полная линейная группа
4.3.4. Специальная линейная группа
4.3.5. Ортогональная группа
4.3.6. Унитарная группа и специальная унитарная группа
4.3.7. Симплектическая некомпактная и симплектическая компактная группы
4.4. Динамические системы
4.5. Классификация двумерных поверхностей
4.5.1. Многообразия с краем
4.5.2. Ориентируемые многообразия
4.5.3. Классификация двумерных многообразий
4.6. Двумерные многообразия как римановы поверхности алгебраических функций
Глава 5. Тензорный анализ и риманова геометрия
5.1. Общее понятие тензорного поля на многообразии
5.2. Простейшие примеры тензорных полей
5.2.1. Примеры
5.2.2. Алгебраические операции над тензорами
5.2.3. Кососимметричные тензоры
5.3. Связность и ковариантное дифференцирование
5.3.1. Определение и свойства аффинной связности
5.3.2. Римановы связности
5.4. Параллельный перенос. Геодезические
5.4.1. Предварительные замечания
5.4.2. Уравнение параллельного переноса
5.4.3. Геодезические
5.5. Тензор кривизны
5.5.1. Предварительные замечания
5.5.2. Координатное определение тензора кривизны
5.5.3. Инвариантное определение тензора кривизны
5.5.4. Алгебраические свойства тензора кривизны Римана
5.5.5. Некоторые приложения тензора кривизны Римана
Глава 6. Теория гомологий
6.1. Исчисление внешних дифференциальных форм. Когомологии
6.1.1. Дифференцирование внешних дифференциальных форм
6.1.2. Когомологии гладкого многообразия (когомологии де Рама)
6.1.3. Гомотопические свойства групп когомологий
6.2. Интегрирование внешних форм
6.2.1. Интеграл дифференциальной формы по многообразию
6.2.2. Формула Стокса
6.3. Степень отображения и ее приложения
6.3.1. Степень отображения
6.3.2. Основная теорема алгебры
6.3.3. Интегрирование форм
6.3.4. Гауссово отображение гиперповерхности
Глава 7. Простейшие вариационные задачи римановой геометрии
7.1.Понятие функционала. Экстремальные функции. Уравнение Эйлера
7.2.Экстремальность геодезических
7.3. Минимальные поверхности
7.4. Вариационное исчисление и симплектическая геометрия.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии, Мищенко А.С., Фоменко А.Т., 2004 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Хештеги: #учебник по математике :: #математика :: #Мищенко :: #Фоменко