олимпиада по математике

LXXI Московская математическая олимпиада, математический праздник, Арнольд В.Д., 2008.


Примеры задач.
6 класс
Задача 1. Сегодня 17.02.2008. Наташа заметила, что в записи этой даты сумма первых четырёх цифр равна сумме последних четырёх. Когда в этом году такое совпадение случится в последний раз?
[3 балла] (Н. М. Нетрусова)
Ответ. 25 декабря 2008 года.
Решение. Нетрудно проверить, что в оставшиеся дни до конца года такого совпадения больше не будет.
Задача 2. Зайчиха купила для своих семерых зайчат семь барабанов разных размеров и семь пар палочек разной длины. Если зайчонок видит, что у него и барабан больше, и палочки длиннее, чем у кого-то из братьев, он начинает громко барабанить. Какое наибольшее число зайчат сможет начать барабанить? [3 балла] (Д.В.Баранов)
Ответ. 6 зайчат.

LXX Московская математическая олимпиада (Московская региональная олимпиада школьников) задачи и решения, Алексеев В.Б., 2007.

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ.
6 класс
1. По двум телевизионным каналам одновременно начали показывать один и тот же фильм. На первом канале фильм разбили на части по 20 минут каждая и вставили между ними двухминутные рекламные паузы. А на втором канале фильм разбили на части по 10 минут каждая и вставили между ними минутные рекламные паузы. На каком канале фильм закончится раньше? (И. В. Раскина, Г. В. Караваева)
2. В конце четверти Вовочка выписал подряд в строчку свои текущие отметки по пению и поставил между некоторыми из них знак умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным 2007. Какая отметка выходит у Вовочки в четверти по пению? (Колов учительница пения не ставит.)
(А. В. Хачатурян)

LXVIII Московская математическая олимпиада, Математический праздник, Арнольд В.Д., 2005.

Задача 6. В Пустоземье живут три племени: эльфы, гоблины и хоббиты. Эльф всегда говорит только правду, гоблин всегда лжёт, а хоббит через раз говорит то правду, то ложь. Однажды за круглым столом пировало несколько пустоземцев, и один из них сказал, указав на своего левого соседа: «Он — хоббит». Сосед сказал: «Мой правый сосед солгал». В точности ту же фразу затем повторил его левый сосед, потом её же произнёс следующий по кругу, и так они говорили «Мой правый сосед солгал» много-много кругов, да и сейчас ещё, возможно, говорят. Определите, из каких племён были пирующие, если известно, что за столом сидело а) девять [4 балла]; б) десять [4 балла] жителей Пустоземья. Объясните своё решение. (А. Заславский, А. Хачатурян.)

LXVII МОСКОВСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ, Акопян И.В., 2004.


Примеры задач.
6. Все доминошки занимают 64 клетки, поэтому одна клетка всегда свободна. Будем называть ее дыркой. Заметим сначала, что если в (горизонтальном) ряду с дыркой есть хотя бы одна вертикальная доминошка, то одну из таких доминошек можно сделать горизонтальной.

LXVI МОСКОВСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА, 2003.

9 КЛАСС
1. Хулиганы Джей и Боб на уроке черчения нарисовали головастиков (четыре окружности на рис. 4 — одного радиуса, треугольник — равносторонний, горизонтальная сторона этого треугольника — диаметр окружности). Какой из головастиков имеет большую площадь? (Р.М. Фёдоров)
2. Произведение пяти чисел не равно нулю. Каждое из этих чисел уменьшили на единицу, при этом их произведение не изменилось. Приведите пример таких чисел. (Ц. Л. Калинин)

LXV Московская математическая олимпиада, Математический праздник, Арнольд В.Д., 2002.

Задача №5. Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и Алеше Поповичу за верную службу дали 6 монет: 3 золотых и 3 серебряных. Каждому досталось по две монеты. Илья Муромец не знает, какие монеты достались Добрыне, а какие Алёше, но знает, какие монеты достались ему самому. Придумайте вопрос, на который Илья Муромец ответит «да», «нет» или «не знаю», и по ответу на который Вы сможете понять, какие монеты ему достались. [6 баллов] (А. Чеботарёв)
Решение. Вот пример такого вопроса: «Правда ли, что у тебя золотых монет больше, чем у Алёши Поповича?»
Если у Ильи Муромца две золотые монеты, он скажет «да», поскольку у Алёши Поповича не может быть больше одной золотой монеты.
Если обе монеты Ильи серебряные, то у Алёши хотя бы одна золотая, и Илья Муромец ответит «нет».
Ну а если ему достались разные монеты, то он ответит «не знаю», так как у Алёши может оказаться как две золотые, так и две серебряные монеты.
Конечно, можно было задать и другие вопросы, например:
— Правда ли, что одному из двух других богатырей достались две серебряные монеты?
—  Верно ли, что два других богатыря получили хотя бы по одной золотой монете каждый?
— Если я заберу у тебя одну монету и дам вместо нее золотую, станет ли у тебя больше золотых?
(Заметьте, что в последнем вопросе не упоминаются монеты двух других богатырей, а только монеты, доставшиеся Илье Муромцу!)

LXV Московская математическая олимпиада, 2002.

10 класс
1. Тангенсы углов треугольника — натуральные числа. Чему они могут быть равны?     (А. Заславский)

2. Про положительные числа а, Ь, с известно, что.  Докажите, что a + b + c ЗаЬс.    (С. Злобин)
3.   В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки Е и F являются серединами сторон ВС и CD соответственно. Отрезки АЕ, AF и EF делят четырёхугольник на 4 треугольника, площади которых равны последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника ABD?                             (С. Шестаков)
4.   Каждый зритель, купивший билет в первый ряд кинотеатра, занял одно из мест в первом ряду. Оказалось, что все места в первом ряду заняты, но каждый зритель сидит не на своём месте. Билетёр может менять местами соседей, если оба сидят не на своих местах. Всегда ли он сможет рассадить всех на свои места?      (А. Шаповалов)
5.   В городе Удоеве выборы мэра проходят следующим образом. Если в очередном туре голосования никто из кандидатов не набрал больше половины голосов, то проводится следующий тур с участием всех кандидатов, кроме последнего по числу голосов. (Никогда два кандидата не набирают голосов поровну; если кандидат набрал больше половины голосов, то он становится мэром и выборы заканчиваются.) Каждый избиратель в каждом туре голосует за одного из кандидатов.

LXIV Московская математическая олимпиада, математический праздник, 2001.


6 класс.
Задача №1. Решите ребус: АХ • УХ = 2001. [4 балла] (А. Блинков)
Решение: 2001 = 3-23*29. Поэтому число 2001 можно представить в виде произведения двузначных чисел лишь следующими способами: 69 • 29 или 23 • 87.
Ответ: АХ = 29, УХ = 69 или наоборот, АХ = 69, УХ = 29.
Задача №2. Офеня1 купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну ручку за 5 рублей, либо три ручки за 10 рублей. От каждого покупателя Офеня получает одинаковую прибыль. Какова оптовая цена ручки? [4 балла] (А. Саблин)
Решение: Если оптовая цена ручки х рублей, то 5 — х = 10 — Зx, откуда х = 2,5. Значит, оптовая цена — 2 рубля 50 копеек.
Ответ: Оптовая цена ручки — 2 рубля 50 копеек.