Первоначально алгебра была разделом математики, занимавшимся решением уравнений. В отличие от геометрии, аксиоматического построения алгебры не существовало до середины XIX века, когда появился принципиально новый взгляд на предмет и характер алгебры. Исследования стали все больше направляться на изучение так называемых алгебраических структур. Это имело два преимущества. С одной стороны, были уточнены области, для которых справедливы отдельные теоремы, с другой стороны, появилась возможность использовать одни и те же доказательства в совершенно разных областях. Такое разделение алгебры просуществовало до середины XX века и нашло свое выражение в том, что появились два названия: «классическая алгебра» и «современная алгебра». Последнюю больше характеризует другое название: «абстрактная алгебра». Дело в том, что для этого раздела — впервые в математике — была характерна полная абстракция.
